Appearance
数量关系
工程，行程，利润，排列，概率，容斥 这些都是常考的
基础定义知识
1 最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，其中最大的一个公约数叫做这几个数的最大公约数
2 最小公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数
3 题目某些对象赋值和某些对象设置未知数，是2个不同的概念，是可以同时存在的，是可以赋值A对象数值100，同时设置B 对象为X未知数。
基础工具知识
1 直接代入法
通常做题情况：
题目条件---》选项
现在代入法情况：
选项---》题目条件
题目某些对象赋值和某些对象设置未知数，是2个不同的概念，是可以同时存在的，是可以赋值A对象数值100，同时设置B 对象为X未知数。
2 直接倍数（不理解）
看选项，直接代入。
2，4，8能除尽的判断：
2 看尾数， 4看倒数1，2位数， 8看倒数3位数
3，9能除尽的判断： 3--》整个数的数字相加是3的倍数 9--》整个数的数字相加是9的倍数
3 因子倍数
在乘法运算中，乘数中有3，7，9，11，13···数字，结果中也一定有这些数字。
2，5是会在乘法中消失。
4 比例倍数
若 $$\frac {a}{b} = \frac {m}{n} $$ 并且m与n互质（约为最简分数），则说明 a 占 m 份，是m 的倍数**（a是m的倍数）；** b 占 n份，是n的倍数**（b是n的倍数）；** a+b 占 m+n 份，是m+n的倍数**（a+b是m+n的倍数）；** a-b 占 m-n 份，是m-n的倍数**（a-b是m-n的倍数）。**
5 化归为1
经常需要最小公倍数来计算2个变量之间的比例关系。
使用范围： 1 变量在题目中没有提及具体数字的大小。 2 变量也不能通过其他有具体数字大小的变量计算得到。
比如： 行程问题 S = V * T ，题目中条件给了时间，速度和路程没有具体数字，时间和速度有比例关系，所以此时就可以使用化归为1法，假设路程OR速度为1，按照比例关系进行比例倍数，最小公倍数/最大公约数计算出路程OR速度。
6 比例假设
化归为1的比例版， 自己假设题目中的总数，根据题目给的分变量比例关系进行放大缩小，根据比例得到题目分变量的实际数字。
题目某些对象赋值和某些对象设置未知数，是2个不同的概念，是可以同时存在的，是可以赋值A对象数值100，同时设置B 对象为X未知数。
7 十字交叉法
** A * a + B * b = (A+B) r **
A，B是某类对象的具体数字，a,b,r是某类对象的百分比，平均数，XX率----相对数（自己定义的量，2个对象计算得出的数）
题目识别标志：
出现多个百分数
条件都是在A，B，a, b, r，A+B这6个量中题目选择几个给出，只给出2个就是难题，r这个量应该是必给的（没它算不出）。
公式推理： A * a + B * b = (A+B) r ===》(a-r) A = ( r - b) B ===》 $$ \frac {A}{B} = \frac {r - b}{a - r} $$ 所以可以 写成图的形式（这里技术不够无法呈现 a, r, a-r 的3个数的连线关系） $$ \frac {A}{B} : \frac {a}{b}: r \frac {r - b}{a - r} $$
使用范围
A * a + B * b = (A+B) r ，题目条件都是在A，B，a, b, r，A+B这6个量范围中。 a,b,r是要在同一个类型范围内的。
关键是r ，题目是否直接给出。
浓度问题： 浓度的混合问题，abr是浓度，abr是相对数。 人数问题： 人数和平均数，已知A+B 的数，abr是平均数，abr是相对数。 购物人数比例，已知a,b,r, abr是百分数，abr是相对数。
8 假设代入法
当题目已知条件没有常数的时候，可以假设1个已知条件是XX常数，其他量为XYZ的未知量，然后列方程解决。
题目某些对象赋值和某些对象设置未知数，是2个不同的概念，是可以同时存在的，是可以赋值A对象数值100，同时设置B 对象为X未知数。
方程与不定方程
题目某些对象赋值和某些对象设置未知数，是2个不同的概念，是可以同时存在的，是可以赋值A对象数值100，同时设置B 对象为X未知数。
1 查找等量关系
题目类型： 1 已知XXX对象的总和 比如：2人桌子有100张，4人桌子有90张
2 A比B，A是B，A与B，A等于B，描述2个变量之间的关系，通常用来减少未知数的个数，设置一个未知数去描述多个未知变量 比如：A = B+5， A=2B，A/B = 2/7, A - 50 = B/2
3 隐藏的前后不变量 缺什么设置什么为未知数 比如某单位组织党员和积极分子分组讨论，已知如果每组分配7名党员和3名积极分子，还剩下4名党员未分配；如果每组分配5名党员和2名积极分子，还剩下2名党员未分配。 这时候就是总人数不变，党员，积极分子也不变，缺分组数量，设置分组数量为X，Y，根据总数不变列方程。
解题模式：
1 找等量关系
2 根据等量关系设置未知数（等量关系等式中缺设谁）
3 列方程求解
当出现读不懂题目条件的时候，圈出名词，然后考虑这个名词的同义转换，在其他条件中寻找这个同义转换
2 方程与方程组
3 不定方程
未知数的个数多于方程的个数。 常见类型：2个未知数，一个方程组；三个未知数，2个方程组。
常用解法： 1 直接代入选项进行验证
2 枚举试算（1，2，3，4，5···一个个代入去计算）
3 利用奇偶，尾数，倍数等数字特征分析； 比如：7X + 3Y = 60 ； 12X + 5Y = 99；利用总数60，99的奇偶，尾数，倍数进行分析 倍数是总数和其中一个分项系数确定倍数关系，则另一个分项的未知数也属于这个倍数关系（奇偶性也可以在这个关系里面）。
4 特定题型可以采用赋“0”法（不定方程组使用）
4 不定方程组
第一种解法: 1 先消元
2 按照不定方程求解
第二种解法： 特定题型可以采用赋“0”法（本质是线性代数的思维） 满足下面全部使用条件： 1 题目出现3个未知数 2 列出2个方程组 3 求3个未知数之和/差
解法过程： 1 令任意一个未知数为0，一般令系数复杂，大的为0 2 解出未知数为0 的方程组 3 得出解，直接代入3个未知数之和
工程问题
基础公式：
工作总量 = 工作时间 X 工作效率
核心思想：工程问题不会出现甲乙丙混合发生化学反应提升效率的情况，一直都是各算各的。
化归为一（设1或者最小公倍数法），比例假设法
使用条件：
出现工程，有YY效率，花几天完成，多几天少几天完成，多XX台机器完成，少XX台机器玩操，等字样。
使用范围：
工作总量 = 工作时间 X 工作效率
根据化归为一（设1法），题目给出的已知条件（工作量 ，工作时间 ， 工作效率 假装题目这3个中选一个是已知的）是工作时间，就可以假设工作效率为1或者合适的最小公倍数/最大公约数，也可以设置工作总量为1或者合适的最小公倍数/最大公约数，然后根据题目后续条件列出式子。
个人理解：
设1法就是，工作总量 = 工作时间 X 工作效率 这个公式中3个变量已知1个（2个也行），再假设剩下2个中的1个变量的数值是1，此时题目可解。
齐麟的方法：
题目识别：完成XXX工作
公式：工作总量 = 工作时间 X 工作效率
常用方法：
赋值法（一个等量关系，已知一项，赋值另一项，可求公式的结果）-----1 赋值总量 ，2赋值效率
1 赋值给总量 使用条件:题目给出多个对象的完整工程的工作时间，没有给出工作总量
（1）一定要赋值工作总量（假设出工作总量），可以根据题目给出的各自的工作时间求出公倍数，这个公倍数就是假设出的工作总量的值；
（2）分别求工作效率
（3）按照题目要求求谁算谁
2 赋值给效率 使用条件:题目给出多个对象之间的工作效率比/倍数关系；核心思想---总量不变，效率无穷个比值，只是这个比值是根据题目给出的工作时间来确定的。
（1）赋值工作效率
（2）求出工作总量
（3）按照题目要求求谁算谁
3 赋值效率的特殊情况 使用条件：题目出现XX个人或者机器，赋值效率为1
（1）赋值工作效率
（2）求出工作总量
（3）按照题目要求求谁算谁
容斥问题
来源于大学的组合数学的内容。
只要出现2个或者2个以上的分类交叉重合，则一定是容斥问题。
1 极端容斥
公式定义： 题目给出的已知条件----总数M ，满足3个条件的数目分别为A，B，C，
题目提问 题型1---满足题目3个条件中的2个条件的最多有XX种？（二多）
答案： $$ \frac{（A+B+C）}{2} ,结果向小的取整 $$
除外： 1 不构成3角形，等于较小的2个数之和 三角形 就是A B C 这3个数没有构成三角形勾三股四数字（比如 2，6，10）就是较小的2个数字相加。
2 式子A+B+C 》 2 M 等于 3 M -（A+B+C）
题型2---满足题目全部3个条件的最少有多少种？（3少）
答案： （A+B+C）- 2 M
###2 容斥2个集合标准型
使用范围：
题目有5个量： 1 满足条件A的量a 2 满足条件B的量b 3 同时满足条件A和条件B的量c 4 条件A和条件B都不满足的量d 5 总量e
公式： a + b - c = e - d
###3 容斥2个集合图示标数型
就是画图，然后在图上标数字整理逻辑解题。
使用范围： 题目给出条件： 只满足条件A的数， OR 只满足条件B的数，选用2集合图示标数
关键点： 从2个图交集处入手，就是图的最中间的数字入手。
###4 容斥3个集合标准型
使用范围： 假设题目有3个条件A，B，C，题目有提供大于1个满足2个条件的数： 1： 满足条件A，B的数a 2： 满足条件B，C的数b 3： 满足条件A，C的数c 4： 满足条件A，B，C的数d
符号说明： $$ \bigcup 是并集，\bigcap 是交集 $$ 所以公式： $$ A\bigcup B \bigcup C = A+B+C -A\bigcap B -A\bigcap C -B\bigcap C+ A\bigcap B \bigcap C $$
等于：
$$ A\bigcup B \bigcup C = A+B+C - a - b - c + d $$
###5 容斥3个集合图示标数型
使用范围：
当3集合标准公式不能满足条件的时候，就使用画图法。
注意区分： 1 满足某条件， 与仅满足某条件的区别
2 有没有3个条件都不满足的情况
关键KEY： 也是从最中间的量入手。
6 容斥3个集合整体重复型
范围： 题目给出的已知条件/集合：满足1个条件/集合的数，和满足2个条件/集合的数，给了我们1个总数，而不是分项的数。
满足1个条件/集合的数： $$ X = X_1 + X_2 + X_3 $$
满足2个条件/集合的数： $$ Y = Y_1 + Y_2 + Y_3 $$
满足3个条件/集合的数： Z = Z。
假设总数为W，3个条件/集合分别为ABC ,有2个公式： $$ 实际总数（无重复统计）W = X+Y+Z = A \bigcup B \bigcup C - Y -2Z = A + B + C - Y -2Z $$
$$ 笼统总数（有重复统计） A \bigcup B \bigcup C = A + B + C = X + 2Y + 3Z $$
齐麟的方法:
两集合： 标准公式: 总数 - 两者都不 = 集合A + 集合B - A交B
三集合： 标准公式: 总数 - 三者都不 = 集合A + 集合B + 集合C - A交B - A交C - B交C + A交B交C 变形公式: 总数 - 三者都不 = 集合A + 集合B + 集合C - 同时两者交集 - 2倍（A交B交C）
标准公式，因为集合ABC加了三次，然后又减了三次，中间就空了，所以加A交B交C，补充完整。
画图法： 使用条件：题目给出信息中存在只满足某一个集合条件（只会说英语，只会某一项技能···），优先考虑画图法。
画法原则： 从中心向外侧标注，把图像每一个部分的人数都标注上，最后就根据题目求什么，算什么。
##行程问题
核心公式：
路程S = 速度V * 时间T
核心假设： 根据S = VT ，按照题目给出的已知条件列出方程，有2个路程则用S1，S2表示，然后根据方程组解。
1 相对速度
$$ S相遇 = (V_大 + V_小) * T相遇 $$
$$ S背离 = (V_大 + V_小) * T背离 $$
$$ S追及 = (V_大 - V_小) * T追及 $$
###2 环形运动
反向运动： 第N次相遇路程和为N个周长，T相遇时间 $$ 环形周长 C = （V_大 + V_小） * T遇 $$
同向运动
第N次相遇路程差为N个周长，T相遇时间 $$ 环形周长 C = （V_大 - V_小） * T遇 $$
###3 流水行船 $$ 顺流路程 S = V顺 * T顺 = （V船 + V水）* T顺 $$
$$ 逆流路程 S = V逆 * T逆 = （V船 - V水）* T逆 $$
齐麟的方法：
###基础类型
核心思路：找准每一段过程上的路程S，速度V，时间T
相向而行/相对而行：朝相反的方向行进，面对面行进；朝同一目标，面对面运动
同向而行：从同一地点，同一方向前进
相背而行：彼此的方向和目的完全相反
###火车过桥
路程S = 桥长 + 火车身长
火车完全走在桥上的路程 = 桥长 - 火车身长
###直线单次相遇
2人的路程和（多人也要看成2人） = 2人速度和 X 时间 多人就分成2人进行分析 分析的时候都要从开始点进行分析，不能从相遇地点分析。
###环形单次相遇追及
相遇
题目识别：运动方向是相反的，相向而行/相对而行
S = （V1 + V2） X T
环形相遇 2次相遇，路程和则是2S，N次相遇，路程和则是NS
题目问相遇多少次，直接设相遇X次，然后列方程解。
追及
题目识别：运动方向是相同的，同向而行
S = （V大 - V小）X T
环形追及 2次追及，路程差则是2S，N次追及，路程差则是NS
直线两端出发往返相遇
题目识别：分别从A，B两地出发，第一次相遇后继续行进，到达A，B后返回
直线路程是S，两端出发往返路程第N 次相遇，从出发到第N次相遇路程和是（2N - 1）S
题目问相遇多少次，直接设相遇X次，然后列方程解。
###直线同一端出发
题目识别：从同一个地点出发
直线路程是S，从出发到第N次相遇路程和 是 2N S
根据路程和题目给出的速度或者时间，进行比值（分数形式），然后得出2人的速度关系或者时间关系
###单双岸
双岸：
题目识别：题目给出相遇地点分别距离2个出发点的长度
S：整个路程
S1：第一次相遇地点距离左边A地点的路程
S2：第二次相遇地点距离右边B地点的路程
S = 3S1 - S2 ，因为具体分析路程是：S1 +2S1 -S2
单岸：
题目识别：题目给出相遇地点距离1个出发点的长度
S：整个路程
S1：第一次相遇地点距离A地点的路程
S2：第二次相遇地点距离A地点的路程
S = （3S1 +S2）/ 2
###流水行船
题目识别： XX对象存在逆行行为，逆行速度V逆
V顺水 = V船 + V水
V逆水 = V船 - V水
##概率问题
概率 = 满足条件的情况数 / 总的情况数
齐麟的方法：
1 概率 = 满足要求的情况数量 / 总的情况数量 题目识别：选符合条件的人的总数 / 随便选人的总数
2 某条件成立的概率 = 1 - 该条件不成立的概率 题目识别：比赛，射击类等
3 分步概率 = 满足条件的每个步骤的概率之积 题目识别：完成事件需要分多个步骤，其中每个步骤题目都给概率，暗示求完成该事件全部步骤乘积的积数。
4 总体（分类）概率 = 满足条件的各种情况概率之和 题目识别：完成事件可以有多种方法和方式，暗示求完成该事件的方法方式数量的总和。
题型有2种 1是利用排列组合计算概率，大多数思路是：这件事情发生的概率 = 满足要求的情况数量 / 总的情况数量；再配合枚举法/穷举 写在草稿纸上多是用组合C来列式子。
2 已知概率去求概率
学习能力，就是在短时间内高效地了解一个科研领域或者掌握一些科研方法，而一个人学习能力很大程度上就是在考验一个人对于学习工具的掌握，这些学习工具，就是那些你在本科或training阶段打下的基础，比如数学，物理，化学，英语，专业课等基础学科和各种实验仪器及其理论。 要是不牢固的解决方法：基础没打牢不需要抱着基础书看，链式学习，缺什么补什么，空闲再系统看基础类书
##植树方阵
植树： 公式：
1 单边直线型： 棵树 = （总长 / 间隔） + 1 点在直线分割后，得到的是段数/间隔数，端点数量比段数（间隔数）多1，所以加1 题目识别：包含首尾，或者什么都没有提及。
2 单边楼间型（不要两边端点）： 棵树 = （总长 / 间隔） - 1 求的是2头端点距离之间有多少个端点，所以就不要连带计算2头的端点 题目识别：不含首尾，墙内，楼之间
3 环形型： 棵树 = 总长 / 间隔 题目识别：种树的形状是环形，比如圆，三角形，四边形，只要是封闭图形都是。
4 双边都要种树，则是单边公式X2 题目识别：两边，两侧
5 不用移动的是间隔距离的公倍数的树
方阵: 题目识别：出现**“方阵”**字眼
方阵问题的小结论： N阶方阵总人数 N X N
最外层人数 4N - 4
相邻两层相差8人
##抽屉原理
根据题目给出的条件，自己假设出与题目条件相反的条件（对象都是在题目条件内的），最后相反条件得出的结果再加1，就是答案。
###最多最少型
原理： 问最多的抽屉，最少有多少个苹果，此时求平均数。 答案---不低于平均数的最小整数（向大的取整）就是答案。
##比例问题
原理： 根据题目已知条件得出的数 进行比，得到一个比例关系，然后根据比例关系求题目所求的对象。
###和差倍比（大杂烩） 题目中2个数的和，差，倍数，比例关系
##溶液问题 常用十字交叉法解决
公式使用的变量有4个，分别是溶液，溶质，溶剂，浓度 $$ 溶液 = 溶质 + 溶剂 $$ $$ 浓度P = \frac{溶质}{溶液} = \frac{溶质}{溶质 + 溶剂} = 1 -\frac{溶剂}{溶质 + 溶剂} $$ $$ 溶液 = \frac{溶质}{浓度P} $$ $$ 溶质 = 溶液 * 浓度P $$
举例： 糖水——溶液 糖——溶质 水——溶剂 糖占糖水溶液的百分之几——浓度
重点题型
溶质不变型(简单溶液混合、等溶质增减溶剂、溶液比例问题) 溶质变化型(混合稀释问题) 饱和浓度型
重点方法
简单溶液混合：运用溶液基本概念或基础公式 等溶质增减溶剂：设处溶质，得出溶液，即可解决 溶液比例问题：运用设整思想，根据所给条件将溶质或者溶液设出 溶质变化混合稀释问题：抓住浓度本质，看溶质最后剩下多少就能快速得到答案
齐麟的方法: ###1 蒸发稀释类型 核心思路：溶质不变
原溶液 X 浓度 = （蒸发后溶液 - 蒸发重量） X 蒸发后浓度
题目识别：出现字眼：“蒸发，加水（没有表明浓度），加入清水蒸馏水，稀释”
当题目只出现百分比数据，没有其他具体数值的时候，使用赋值法，给不变量赋值（最小公倍数），写出等量关系和等量方程。
###2 溶液混合类型 核心思路：总溶质不变
题目识别：2种及其2种以上的浓度不同的溶液混合
赋值规则： 题目里某些变量没有明确给出确定的数字，在设未知数的时候，可以随时更改，可以是X，是1，是2是9000，哪个方便方程计算就用哪个。（没有成熟的规则）
1 总溶质相等，然后列方程求混合后的浓度PA x a% + B x b% = (A + B )x P%
2 十字交叉 需要条件：混合前的各个部分溶液的浓度，混合后的浓度，求出混合前的各部分溶液重量的比值。
###3 反复操作类型
核心思路：总溶液不变
题目识别：只有一种溶液并且出现字眼：“加满，倒出”
##牛吃草问题
关键公式
题目已知条件： 4头牛 吃草 30 天 5头牛 吃草 20 天 6头牛 吃草 ？？ 天
https://i.loli.net/2021/08/31/rBbOAVFeDdgvMal.jpg
齐麟的方法：
某个对象有XXX个并且YYY小时or天，完成该对象的某个属性，比如牛吃草，抽水机抽水，售票窗口，水池蓄水
牛的数量：N 牛吃草的天数：T 原有的总量：Y 每单位时间的新增量（草增长的速度）：X，X是正数，边吃边增长，X是负数，边吃边减少 公式：Y = （N- X ） x T 需要2组方法解出X和Y，然后题目问什么再代入解出XY的方程中。
当原有的总量不一致的时候，把N进行变形变成每单位Y个有多少个N，这样的目的是凑出题目2组数据之间的等量关系 公式：单位的Y2 = [（N/Y）- X ] x T
##排列组合问题
加法定理：
设集合S 被划分成两两不相交的部分S1,S2,S3...,Sm。则S的对象数目可以通过确定它的每一个部分的对象数目并如此相加而得到**$\mid$S$\mid$ = $\mid$S1$\mid$ + $\mid$S2$\mid$ + $\mid$S3$\mid$ + ...+$\mid$Sm$\mid$**
乘法定理：
令S是对象的有序对（a,b）的集合，其中第一个对象a来自大小为p的一个集合，而对于对象a的每一个选择，对象b有q种选择。 于是 S的大小为p X q；
$\mid$S$\mid$ = p X q
其实乘法定理是加法定理的一个推论。 推论过程： 设a1,a2,a3...ap是对象a的p个不同选择。我们把S划分成部分S1，S2,...,Sp,其中Si是S中第一个对象为ai(i = 1,2,...,p )的有序对的集合。每一个Si的大小为q，根据加法定理有$\mid$S$\mid$ = $\mid$S1$\mid$ + $\mid$S2$\mid$ + $\mid$S3$\mid$ + ...+$\mid$Sp$\mid$ = q + q+...+q(就是p个q相加)= p X q
乘法就是重复的加法这样的基本事实。
减法定理：
除法定理：
基本应用公式 加法： 分类 乘法： 分步 排列： 顺序有关 ----》${A_{10}^{4}}$ = 10 X 9 X 8 X 7 组合： 顺序无关 =====》${C_{10}^{4}}$ = $$ \frac{10 * 9 * 8 * 7}{4 * 3 * 2 * 1}$$
计数问题归类： 1 计数对象的有序排列的个数或者对象的有序选择的个数 任何对象都不重复 允许对象重复（但可能是有限制的） 2 计数对象的无序排列数目或者对象的无序选择数目 任何对象都不重复 允许对象重复（但可能是有限制的） 多重集合是除其成员不必不同外与集合一样。 有3个a,1个b,2个c，4个d组成的多重集合M，即M有4种不同类型的10个元素。 M可以表示为：{3$\cdot$a, 1$\cdot$ b, 2$\cdot$ c , 4 $\cdot$ d} ,此时数3，1，2，4是多重集合M的重复数。 当集合M { $\infty$ $\cdot$a, 1$\cdot$ b, $\infty$ $\cdot$ c , 4 $\cdot$ d} 此时成员a 和c 有无穷大的重复数，b和d的重复数是2和4 1中考虑到顺序的放置或选择通常称为排列 2中与顺序无关的放置或选择称为组合。
========================================================================== 个人理解： 和算法里面的map集合结合起来，感觉组合数学的魅力。
管理类联考的排列组合的网课的内容
自己网上找的内容
题目出现相邻问题，----捆绑法----先考虑相邻元素，后视为一个整体。比如ABCDE，AB和CDE视为2个整体。
非相邻问题-------插空法 ------先考虑剩余元素，后将不相邻元素插入所成间隙中。 ABC插入 DEFG中，则是$${A_{5}^{3}} $$
###1捆绑插空
###2分配插板
1 被分配的东西是相同的，只有数量上的差异
2 要求每组满足“至少一个”的条件
3 上述条件如果不能满足，需要构造使其满足 $${A_{y-1}^{x-1}} $$或者$${C_{y-1}^{x-1}} $$
###齐麟的方法：
###1 基本概念
分类：（可看成并联电路） 完成事件A有多种方法，用加法，把能够完成事件的多种方法数量直接相加 分类加法计数原理： 完成某件事有n类办法，在第一类中有m1种不同的方法，第二类中有m2种不同的方法，则完成这件事共有N = m1 + m2 + m3 +····+mn种不同的方法。
分步：（可看成串联电路） 完成事件A有多个步骤，用乘法，把能够完成事件的每一个步骤的方法数量直接相乘 分步乘法计数原理： 完成某件事有n个步骤，在第一个步骤中有m1种不同的方法，第二个步骤中有m2种不同的方法，则完成这件事共有N = m1 · m2 · m3 ·。。。·mn种不同的方法。
做题思路： 1 判断题目要求事件/对象是分类还是分步，确定使用加法还是乘法 2 该事件/对象是要进行排列还是组合，还是是排列组合一起
###2 排列组合基本概念公式
排列A 有顺序 顺序改变影响结果
组合C 没有顺序 顺序改变不影响结果
题目识别： 排列：题目出现字眼---排，安排，排队，排法，次序，顺序 组合：题目出现字眼---选，挑选，选派
题目没有明确给出是排列，还是选的时候，就要考虑题目要求本质是选，还是排
排列组合一些细节： 一定要按照题目要求去设想，不能自己想什么就是什么，不然就会掉进出题人老头的坑，一些思路障碍。所以一定要根据题目要求去假设，不安排在同一时间就不要设想安排在同一时间段的可能。
###3 捆绑和插空
题目识别： 捆绑：在一起，相邻，挨着 插空：不相邻，不在边上，不挨着
相邻用捆绑法，不相邻用插空法
捆绑：1 捆绑， 2排列，3解绑（计算捆绑在一起的2个对象的顺序）
###4 计算反面 正面情况：存在2种或者2种以上的复杂情况的时候，采用反面计算法
总数 - 反面的情况数量
多位数的选择类型题目
染色类题目
###5 插板法
插板法是计算总数，要是还有什么条件，就要细分分情况算。
题目识别： 相同的XXX对象，分成若干份给不同的P个人，每人至少YYY个
核心思路： 凑成使用条件：每一个人都有一个对象，根据人初始拥有对象的数量加减凑成拥有一个对象后，少的数量就总数增加同样数量，多的数量就总数减少同样的数量
N个对象中，有N- 1个空，分给不同的P个人，每人至少一个对象，所以N- 1个空需要P-1个插板来隔出P份。
$${C_{N-1}^{P-1}} $$
假如题目说每人至少要2个对象，则需要先给每人一个，分割的时候空的数量就是总数-人数-1，这样就凑成插板法的使用条件：每人一个对象，空的数量N-人数-1，需要有P-1个板子，才隔出P份
$${C_{N-人数-1}^{P-1}} $$
假如题目说每人至少要的对象数量都不一致，则需要分别给每一个人所要求的数量 - 1，使得每一个人差一个对象就可以达到题目要求的数量，这样就可以凑成插板法使用的条件了，这时候题目能给出空的数量就是总数-人要求的数量减少一个后的数量
比如A至少1，B至少2，C至少3，D至少4
$${C_{N-（0+1+2+3）-1}^{4-1}} = C_{N-7}^{3}$$
假如题目没有说明条件，则先给每一个人一个对象（没有说明条件会出现人一个对象也没有的情况），总数也要加上这些对象数量，这样就凑成插板法的使用条件：每人一个对象，有P-1个板子，然后空的数量是总数+人数 -1
$${C_{N+人数-1}^{P-1}} $$
###6 环形排列
题干识别: 排成一圈
核心思路: 圆圈解开排成一条直线，在直线的状态下排序不同，但是在圆圈状态下只要元素的相对位置不变（对面和相邻元素不变），直线状态下的所有排序都只算作一种
假设有X个元素围成一圈 排成直线的情况：$${A_{X}^{X}} $$ 排成圆圈的情况： $$ \frac{ {A_{X}^{X}} }{X} $$
###7 全错位排列
题目识别: XXX对象不能映射/对应这个对象的属性 比如：车位对应车，厨师对应菜，科室对应工作人员，但是题目要求A车位不能停A车，A厨师不能吃A菜，A工作人员不能回A科室
N个人对应N个东西，每个人不能（吃，用，拿，回）自己
解题模式： 有1个人的错位排列 对应 0种方式 ，简称D1 = 0
D2 = 1 D3 = 2 D4 = 9 D5 = 44 D6 = 265
###8 不同数量排序
苹果和盒子的数量不一致，比如4个苹果，要放进3个盒子，每一个盒子至少一个苹果，有多少种。
建议：先把数量多的元素进行捆绑（211中的2就是捆绑），在进行分组排序，211就是分成3组，3组对应3个盒子所以是A33。
特别注意-----当元素是一致的时候（同颜色的卡片，小球），就211中的11要除以A22了。三个数放在红,黄,绿 三个位置排序一样,所以 乘以A33，但因为它有两个数是一样的所以除以 A22。 比方说123排序时即有A33,也就是6种排法，即123,132,213,231,312,321,如果把113三个数排序（也就是把上面的2换成1）即113,132,113,131,311,311就有重复的所以要A33/A22
##经济利润
题干特征词：
常用列方程，比例假设，代入法，十字交叉法····
常用公式： 成本 = 进货价格(进价) $$ 利润率/毛利率 = \frac{ 利润 }{成本} = \frac{售价 - 成本}{成本} $$
折扣 ： 8折 = 0.8 * 原价
量 * 价格 = 总额
齐麟的方法:
没有打折题型： 题目识别：一批货按照XXX价格，按照YYY个数量或者全部出售
核心思路：根据题目给出的信息是利润等量关系，成本等量关系，还是利润率等量关系，根据这些等量关系列方程
$$ 利润率/毛利率 = \frac{ 利润 }{成本} = \frac{售价 - 成本}{成本} $$
使用资料分析内容对比： 成本 = 基期， 售价 = 现期，利润 = 增长量 ， 利润率 = 增长率
部分打折题型： 题目识别：一批货分多组出售并且价格不一致。比如：XXX个对象，出售了AAA个以后，打YYY折，再出售BBB个
核心思路：总利润 = 各个部分利润之和，根据这个等量关系列方程。 打折 都是在 售价基础上，不是在成本上打折
###2级结论
1 当题目给出条件的对象有3个或者3个以上的时候，就要假设题目对象所在的逻辑数学公式里面没有出现的那个量作为假设量**（核心思想就是用一个变量描述出题目条件给的关系）**
##日期周期星期
###周期
总数 / 周期 = 商····余数
每隔XXX天，实际上就是一个周期XXX + 余数天数
题目识别：出现字眼“循环” ，“每隔XXX个对象和YYY个对象”
星期日期的计算：
求星期几，就是当前题目给的星期几 + 计算得到的余数 - 7
平年365，闰年366，年份/4 能整除就是闰年
30天的月份：4 6 9 11
31天的月份：1 3 5 7 8 10 12
几月几号到几月几号的计算：先算零头，再算整月，再算零头
月头几天的星期和月尾几天的星期是一样的，这几天都数字要小于7（一个周期），因为这几天不在一个完整周期内。
##数列问题
###基础数列
使用一次加减乘除得到的数列
等差数列
求和： 和 = （（首项 + 末项）/ 2）X项数 = 平均数 X项数 = 中位数 X 项数（平均数，中位数是用的最多的情况）
项数公式： 项数 = （末项 - 首项）/ 公差 + 1
第n项 = 首项 + (n - 1)X 公差
1，5，9，13，（），21
等比数列
160 ，80， 40， 20，10
质数数列： 2，3，5，7，11，13···
合数数列： 4，6，8，9，10，12···
周期数列
2，5，4，2，5，4····
递推数列
前2项和是后一项 0，1，1，2，3，5···· OR 1，0，1，1，2，3，5，8···
###5大题型
1 多级数列
2 多重数列
3 分式数列
4 幂次数列
5 递推数列
自己的2次结论
1 要是方程两边都相等，可以使用已知的数进行最小公倍数计算，然后约分计算。
##最值问题
###构造最不利
题目识别： 题目出现**“至少” + “保证”**
原则:先“气死”，再加1
步骤： 1 想要什么，别给什么
2 先要N，先给N - 1 个
3 不需要的通通都给
4 最后结果+ 1
个人理解： 根据至少XX个，满足YY条件，得出结果，结果+ 1，就是答案，也就是根据YY进行排列组合，然后这些排列组合的对象有XX个，得出的结果+1
###数列构造
题目识别：把XXX个对象，划分成YYY项，求其中一项的最大值/最小值。
解题步骤：
1 编号
2 求谁设谁（根据求最大最小给最小最大项赋值和设未知数）
3 按照题目要求完成构造，利用总和为定值列方程求解，最小值则是数列的数值平均，最大值则是数量数值都是增量为1
###多集合反向构造
题目识别：已知总量，求最中心集合的最小值
解题步骤：
1 反向集合
2 求反向集合的和
3 总量与反向集合做差
#GRE数学
##基本数论
###奇偶数
奇数odd，偶数even
奇数 + 奇数 = 偶数 ； 奇数 X 奇数 = 奇数
偶数 + 偶数 = 偶数 ； 偶数 X 偶数 = 偶数
奇数 + 偶数 = 奇数 ； 奇数 X 偶数 = 偶数
和法：看奇数的个数 乘法：结果乘积是奇数，前面都是奇数
识别考点标志： 出现类似的计算式子 -----A的平方 + B的平方 = C的平方
###因数与质因数
6 / 3 = 2 这里面的3是6的，因数/因子/约数/除数，英文是Factor/Divisor
因数的反义词是倍数multiple
因数推出的概念：质数和合数
质数prime：只含有2个正因数，是自己本身和1的数（考试多为2357这几个数）
合数composite：含有2个以上正因数的数（一般考察2458这几个数）
###最大公约数与最小公倍数
最大公约数：Greatest common Divisors 最小公倍数：Least common Multiples
解题模式： 1 将数字分别各自分解质因数 2 每一个质数，取较小的指数的质数，相乘得到最大公约数 3 每一个质数，取较大的指数的质数，相乘得到最小公倍数
比如 45和60
##余数remainder
找循环，一般是4个作为一组循环
###小数分数与科学计数法
###比例与比率
the ratio of A to B 表示： A：B或者A/B
there is twice as mush A as B 表示为: A = 2B 或者 A/B = 2
revenue 收入 cost 花费，成本，进价 profit 利润 gross profit 毛利润 net profit 净利润
proportional 比例的 proportion 比例 directly proportion 正比例 inversely proportion 反比例 = 分母 denominator
P in terms of Y 用Y的表达式子表达P
##代数计算
###指数运算rules of Exponents
base 底数
exponent 指数
3的5次方 3 to the 5th power ； 3 power 5th（口语化）
同底数相乘 ，指数想加 同底数相除 ，指数想减
（A的平方）立方，等于A的6次方
###解方程equations
解方程的前提：设置未知数的思路-----设置未知数的时候，应该首先考虑未知数设置出来要便于理解，便于表示其他量，便于列出方程。 在某些条件下，不一定能直接设置未知数是题目所求变量，此时可以设置中间变量为未知数，或者设置某种倍数关系（2倍，4倍，10倍）的未知数，总的目标是消除方程中分数形式。
标准根公式
韦达定理
十字相乘法
式子的平方
加法：plus，addition(add)，increase，and， 和：sum 减法：minus，subtract， 差：difference 乘法：multiply，times， 积：product 除法：divide，over 商：quotient，ratio
###不等式
对已有的不等式两边取倒数或者负数，不等号要改变方向
###数列
等差数列arithmetic Sequence
等比数列Geometric Sequence
##初等几何
###三角形和四边形
三角形的内角和180度
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
较大的角对应的边也比较大
勾股定理
三角形，四边形的面积公式
###圆
周长
面积
弧长
扇形
圆心角与圆周角的关系：同一段圆弧所对的圆心角是圆周角的2倍
###立体几何
长方体体积公式
正方体体积公式
圆柱体体积公式
###直角坐标系
直角坐标系2点之间的距离公式
斜截式公式
斜率公式
##文字应用题
###利息问题 单利：A是本金利息和， P是本金，r是利率，n 是期数，利率和期数的时间单位要一致（年月日，季度） A = P（1 + n r）
复利：A是本金利息和， P是本金，r是利率，n 是期数，利率和期数的时间单位要一致（年月日，季度） A = P 乘以（1+ r）的n 次方
###集合问题
集合set
交集 intersection
并集 union
画表格一个个加减算
###排列组合问题 组合：不计较顺序的时候
排列（A或者P）：计较顺序
###概率问题
比值关系
###描述统计学
##比较大小题型
#参考
一本好的参考书或者教科书的判断： 正好的教科书是会还原知识研究过程的，她会先充分描述该学科知识诞生之前的迷惑状态，抛出一个研究者当初遇到的典型问题，然后从这个原初问题出发，引领读者以研究者的角度，一步步经历这个“研究过程”，最后把现在成熟的学科知识作为结论呈现出来，甚至还不讳言一些研究过程中的错误方向。这样特别符合认知论，你会看到一个学科是怎么破土而出，发芽、长大、舒展、修剪，甚至遭遇瓶颈，学生就能够理解“为什么要有这个/这套知识”。
映射：集合是利用数学语言和抽象思维来建模自然界客观存在的方式，那么映射就是建模存在方式之间的关联。数学这个学科其实是在研究客观自然存在关系，因此必需完成上述两种元素的基本建模。 理解作为一种认知活动，总是包含 “指向” 的动作（头脑中），即指向已经认知的事物。终极的理解，大概是指向元素。数学中经常会做映射，目的是通过像来认识/理解原像。可以认为：数学是通过映射来实现理解的。映射体现和规定着像和原像之间的相互作用。通常把映射写作(以二元函数为例)：z = f (x,y)。其实也可以采用“运算”形式：z=xfy。x 和 y 根据法则 f 相互作用得到 z。当然，映射本身也是数学方法：集合看作 “方”，对应关系看作“法”。数学系的问题在于：经常会遇到映射，但很少真正 “做映射”。
Energy Kyouka
ワーズ・ワース-Words Worth 3
吃亏是福是自我安慰，是自古以来既得利者为了维稳说的话，想想说这句话的一般都是什么人（老板、统治阶级）
行测资料分析长题干读不懂怎么办?
一般题型 EG1 : 我国境内投资者对每个当期内产生非金融类直接投资的境外企业的非金融类直接投资额均值约为多少亿元人民币？
题干分析： 我国境内投资者对每个当期内产生非金融类直接投资的境外企业的非金融类直接投资额均值约为多少亿元人民币？
求的是个均值，就是平均数嘛！那咱脑海里就得有平均数的公式了 ，总量/个数 再看看总量是啥？投资额，对不对？ 个数是啥的个数？企业数，对不对？
含有前提条件的题干类型 EG2：
2021年一季度，软件和信息技术服务业（这里缺少一个“在”字，也可能不缺）软件业务收入中，占比较上年同期上升的收入类别，其收入所占的比重约：
分析：
这类题型的题干前半部分是让我们根据要求确定指标，后半部分考察指标的一些基本考点。 因此，题干后半部分经常会出现“其”这个字眼用来代指我们通过前提条件找到的指标。
第一步： 一般我们可以分阶段解读题干，先根据题目前半段要求，找到符合条件的指标。 第二步： 对该指标对应的数据按照题目后面的要求进行计算或比较。
所以--------题干前半部分“软件和信息技术服务业软件业务收入中，占比较上年同期上升的收入类别”为前提条件，第一步需要找到比重上升的这一类别，可以通过判断比重变化的方法寻找。 由表可知，2021年一季度，软件和信息技术服务业软件业务收入中，只有信息技术服务收入同比增速(29.2%) > 软件业务收入同比增速(26.5%)，并且软件产品收入（23.4%） < 软件业务收入同比增速(26.5%)。 故2021年一季度，软件和信息技术服务业软件业务收入中，符合前提条件的收入类别为“信息技术服务收入”
第二步： 题干中后半段“其收入所占的比重约?”目的是让我们求解出信息技术服务收入占比，利用现期比重公式直接求解
含有假设条件的题干
EG3： 若2015年第四季度湖北省固定资产投资占全年的比重为28.6%，则2015年湖北省固定资产投资约为多少亿元?
分析：
含有假设条件的题干，一般先给出假设条件，然后让考生依据材料数据结合假设条件，对问题进行求解。
题干一般会有这样的特征： (1)开头经常会出现“如果”、“假若”、“假设”、“若”等字眼。 (2)后半段题干有时会用连接词连接(例如：“如果……那么……”、“假设……则……”)，或用逗号隔开(例如：“若……，……”)。
解法 第一步：大概扫一眼前面的假设条件，但是不要过度关注。
第二步：重点应该放在题干后半段题干，以连接词“则”、“那么”或者标点“，”为分界，重点理解后面的要求，确定考点后，根据材料数据以及题干所给的前提条件进行求解。
所以 第一步：题干开头出现“若”这一字眼，可判断为假设型题干
第二步：重点读“则”后面的要求-----“则2015年湖北省固定资产投资约为多少亿元”
题干时间与材料时间不同，让我们求解2015年(基期)的固定资产投资。 回顾材料发现并没有给出2016年全年数据，只给出前三季度数据，这时需要结合假设条件“若2015年第四季度湖北省固定资产投资占全年的比重为28.6%”求解，根据假设条件可知2015年前三季度占全年比重 （1-28.6% = 71.4%）
2021-08-21 15:58:56